Matematica e fisica: Indicação de refração

Índice de refração é uma relação entre a velocidade da luz no vácuo (c) e a velocidade da luz em um determinado meio. Em meios com índices de refração mais baixos (próximos a 1) a luz tem velocidade maior (ou seja, próximo a velocidade da luz no vácuo). A relação pode ser descrita pela fórmula:

$n = \frac {c}{v}$

Em que: c é a velocidade da luz no vácuo (c = 3 x $10^8$ m/s); v é a velocidade da luz no meio;
De modo geral, a velocidade da luz nos meios materiais é menor que c; e assim, em geral, teremos n > 1. Por extensão, definimos o índice de refracção do vácuo, que obviamente é igual a 1. Portanto, sendo n o índice de refracção de um meio qualquer, temos:

$n\,>\,1$

A velocidade de propagação da luz no ar depende da frequência da luz, já que o ar é um meio material. Porém essa velocidade é quase igual a c = 3 x $10^8$ m/s para todas as cores. Ex.: índice de refracção da luz violeta no ar = 1,0002957 e índice de refracção da luz vermelha no ar = 1,0002914. Portanto, nas aplicações, desde que não queiramos uma precisão muito grande, adoptaremos o índice de refracção do ar como aproximadamente igual a 1:

$n \cong 1$

Como vimos, as cores, por ordem crescente de frequências, são: vermelho, laranja, amarelo, verde, azul, índigo (anil) e violeta.
A experiência mostra que, em cada meio material, a velocidade diminui com a frequência, isto é, quanto "maior" a frequência, "menor" a velocidade.

$v_{vermelho}\,>\,v_{laranja}\,>\,v_{amarelo}\,>\,v_{verde}\,>\,v_{azul}\,>\,v_{anil}\,>\,v_{violeta}$

Portanto como $n = {c \over v}$ , concluímos que o índice de refracção aumenta com a frequência. Quanto "maior" a frequência, "maior" o índice de refracção.

Note como o cano verde parece partir-se dentro dos copos

Em geral, quando a densidade de um meio aumenta, o seu índice de refração também aumenta. Como variações de temperatura e pressão alteram a densidade, concluímos que essas alterações também alteram o índice de refracção. No caso dos sólidos, essa alteração é pequena, mas para os líquidos, as variações de temperatura são importantes, e no caso dos gases tanto as variações de temperatura como as de pressão devem ser consideradas.
A maioria dos índices de refracção é menor que 2; uma exceção é o diamante, cujo índice é aproximadamente 2,4. Para a luz amarela emitida pelo sódio, sua frequência é $f = 5090 . 10^{14} Hz$ e cujo comprimento de onda no vácuo é $\lambda = 589 nm$ . Essa é a luz padrão para apresentar os índices de refracção.
Consideremos dois meios "A" e "B", de índices de refracção $n_A$ e $n_B$ ; se $n_A > n_B$ , dizemos que "A" é mais refringente que "B".

Continuidade Óptica

Consideremos dois meios transparentes A e B e um feixe de luz dirigindo-se de A para B. Para que haja feixe refratado é necessário que $n_A \ne n_B$ .
Quando $n_A = n_B$ , não há luz reflectida e também não há mudança na direção da luz ao mudar de meio; dizemos que há continuidade óptica.
Quando temos um bastão de vidro dentro de um recipiente contendo um líquido com o mesmo índice de refração do vidro, a parte do bastão que está submersa, não refletindo a luz, fica "invisível". Índice de refracção relativo
Se o índice de refracção de um meio A é $n_A$ e o índice de um meio B é $n_B$ , definimos:

$n_{AB}$ = índice de refração do meio A em relação ao meio B = $\frac {n_A}{n_B}$

$n_{BA}$ = índice de refração do meio B em relação ao meio A = $\frac {n_B}{n_A}$

Sendo v_A e v_B as velocidades da luz nos meios A e B, temos:

$n_{AB} \frac {n_A}{n_B} = \frac {v_B}{v_A}$

$n_{BA} \frac {n_B}{n_A} = \frac {v_A}{v_B}$

Leis da refração

Consideremos dois meios transparentes A e B e um feixe estreito de luz monocromáctica, que se propaga inicialmente no meio A, dirigindo-se para o meio B. Suponhamos, ainda, que uma parte da luz consiga penetrar no meio B e que a luz tenha velocidades diferentes nos dois meios. Nesse caso, diremos que houve Refração. O raio que apresenta o feixe incidente é o raio incidente ( $i$ ), e o raio que apresenta o feixe refratado é o raio refratado ( $r$ ).

A primeira lei da Refração

O raio incidente, o raio refratado e a normal, no ponto de incidência, estão contidos num mesmo plano.

A normal é uma reta perpendicular à superfície no ponto de incidência, θ_A é denominado ângulo de incidência entre o raio e a normal e θ_B, ângulo de refração entre o raio e a normal.

A segunda lei da Refração

Os senos dos ângulos de incidência e refracção são diretamente proporcionais às velocidades da onda nos respectivos meios.

Ou seja:

`I`
$n_A \cdot sen\,\theta_A = n_B \cdot sen\,\theta_B$

Dessa igualdade tiramos:

`II`

A Segunda Lei da Refração foi descoberta experimentalmente pelo holandês Willebrord van Royen Snell (1591-1626) e mais tarde deduzida por René Descartes, a partir de sua teoria corpuscular da luz. Nos Estados Unidos, ela é chamada de Lei de Snell e na França, de Lei de Descartes; em Portugal e no Brasil é costume chamá-la de Lei de Snell-Descartes.
Inicialmente a Segunda Lei foi apresentada na forma da equação II; no entanto, ela e mais fácil de ser aplicada na forma da equação I.
Observando a equação I, concluímos que, onde o ângulo for menor, o índice de refração será maior. Explicando melhor: se $\theta_A\ >\ \theta_B$ , o mesmo ocorre com seus senos, $sen\,\theta_A\ >\ sen\,\theta_B$ ; logo, para manter a igualdade da equação I, $n_B\,>\,n_A$ . Ou seja, o menor ângulo θ_B ocorre no meio mais refringente, $n_B$ .
Pelo princípio da reversibilidade, se a luz faz determinado percurso, ela pode fazer o percurso inverso. Assim, se ela faz o percurso XPY, ela pode fazer o percurso YPX. Mas, tanto num caso como no outro, teremos:

$n_A \cdot sen\,\theta_A = n_B \cdot sen\,\theta_B$

Quando a incidência for normal, não haverá desvio e teremos $\theta_A\ =\ \theta_B\ =\ 0$ , e, portanto, $sen\,\theta_A\ =\ sen\,\theta_B\ =\ 0$ , de modo que a Segunda Lei também é válida nesse caso, na forma da equação I:

$n_A\,(0)\ =\ n_B\,(0)$

Caso de ângulos pequenos

Na tabela seguinte, apresentamos alguns ângulos "pequenos" expressos em graus e radianos, com o respectivo valor do seno e da tangente:

Ângulo em graus	Ângulo em radianos	Seno	Tangente
0	0	0	0
2	0,035	0,035	0,035
4	0,070	0,070	0,070
6	0,105	0,104	0,105
8	0,140	0,139	0,140
10	0,174	0,174	0,176

Observando esta tabela, percebemos que, para um ângulo θ, até aproximadamente 10° temos:

$\theta\ \cong\ sen\,\theta\ \cong\ tg\,\theta$

quando θ está expresso em radianos. Assim, para ângulos pequenos, a Segunda Lei da Refração pode ser escrita:

$n_A\ \cdot\ \theta_A\ \cong\ n_B\ \cdot\ \theta_B$

para ângulos em radianos e em graus (devido ao fator de conversão entre radianos e graus ser o mesmo para todos os angulos - 180/pi).
Em dias quentes, geralmente em estradas asfaltadas, é muito comum o caminho parecer estar molhado. Isso acontece porque o ar que está próximo ao solo se esquenta, se expandindo. Isso provoca uma queda em sua densidade, diminuindo seu índice de refração em relação ao ar que está mais longe do solo. Quando a luz incide nessa massa de ar menos densa, com um ângulo acima do limite, acontece a reflexão total, que dá a sensação de que a estrada está molhada.

Índices de refração de alguns meios, em relação ao vácuo

Vácuo: 1,0000
Ar: 1,0003 (apróx. 20°C)
Água: 1,3321 (pura, apróx. 20°C)
Gelo: 1,3100
Álcool: 1,3600
Glicerina: 1,47
Vidro: 1,5000 a 1,9000
Sal de cozinha: 1,54
Quartzo: 1,54
Bissulfeto de carbono: 1,63
Zircônio: 1,92
Diamante: 2,4200
Rutilo: 2,80
Acrílico: 1,49

Matematica e fisica

sábado, 10 de março de 2012

Indicação de refração

Continuidade Óptica

Caso de ângulos pequenos

Índices de refração de alguns meios, em relação ao vácuo

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